Развитие логического мышления на уроках математики у учащихся начальных классов

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ У УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ 6
1.1. Основные характеристики мышления как психического познавательного процесса 6
1.2. Развитие логического мышления у младших школьников 19
1.3. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе 30
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
Список использованной литературы 43

Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы, цена оригинала 1000 рублей. Оформлен в программе Microsoft Word.

Оплата. Контакты

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность данной темы определяется следующими обстоятельствами. Никто не будет спорить с тем что каждый учитель должен развивать мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе в объяснительных записках к учебным программам. Однако как это делать учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому что развитие мышления в значительной мере идет стихийно поэтому большинство учащихся даже старшеклассников не овладевает начальными приемами логического мышления
Роль математики в развитии мышления исключительно велика. Причина столь исключительной роли математики в том что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал «Математика не просто один из языков. Математика — это язык плюс рассуждения это как бы язык и логика вместе. Математика — орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение на самом деле тесно связаны. Однако если вы не желаете пользоваться математикой то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите что логика позволяет переходить от одного к другому « [6 44].
Логические и психологические исследования последних лет в особенности работы Ж. Пиаже вскрыли связь некоторых механизмов детского мышления с общематематическими понятиями. Ж. Пиаже считает что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими структурами порядка и топологическими [10 13].
Таким образом математика позволяет сформировать определенные формы мышления необходимые для изучения окружающего нас мира.
У. У. Сойер в книге «Прелюдия к математике» [12 7] отмечает «Можно научить учеников решать достаточно много типов задач но подлинное удовлетворение придет лишь тогда когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания а гибкость ума» которая дала бы им возможность в дальнейшем не только самостоятельно решать но и ставить перед собой новые задачи. Конечно здесь существуют определенные границы о которых нельзя забывать многое определяется врожденными способностями талантом. Однако можно отметить целый набор факторов зависящих от образования и воспитания. Это делает чрезвычайно важной правильную оценку огромных неиспользованных еще возможностей образования в целом и математического образования в частности.
Все вышеизложенное обусловило выбор темы исследования «Развитие логического мышления на уроках математики у учащихся начальных классов»
Проблема исследования каковы психолого-педагогические условия развития логического мышления у учащихся начальных классов на уроках математики.
Цель исследования описать теоретическое обоснование проблемы развития логического мышления на уроках математики у учащихся начальных классов.
Объект исследования процесс развития логического мышления у младших школьников.
Предмет исследования развитие логического мышления у учащихся начальных классов на уроках математики
Задачи исследования
1. изучить проанализировать психолого-педагогическую и методологическую литературу по проблеме исследования
2. дать характеристику специфики мыслительной деятельности младших школьников
Методы
1 теоретические методы исследования анализ обобщение и систематизация литературы по проблеме исследования конспектирование составление библиографического списка
Методологическая основа исследования. Проблемой развития мышления учащихся занимались многие зарубежные и отечественные ученые Веринг Т.С. Л.С. Выготский П.Я. Гальперин В.В. Давыдов Д. Дьюи В.Г. Ежкова И.Я. Лернер А.Н. Леонтьев Н.А. Менчинская Маликов А.А. И.Л. Никольская Н.П. Партиев Ж. Пиаже Н.А. Подгорецкая С.А. Рубинштейн Д.Н. Середа М.Н. Скаткин А.А. Столяр Н.Ф. Д.Б. Эльконин Ю.И.. Шрайнер и др. Они теоретически и экспериментально доказали что школа еще не обеспечивает выпускникам необходимый уровень развития мыслительной деятельности. Практика обучения показывает что развитие мышления учащихся ставится целью урока практически по каждому предмету но на уроках математики может происходить целенаправленное систематическое формирование логических понятий и действий т. к. именно в ней в силу ее специальных особенностей содержатся большие потенциальные возможности для развития логического мышления рассуждения анализирования абстрагирования обобщения и др. воспитания рациональных качеств мысли и ее выражения порядка точности ясности сжатости и др..
Теоретическая значимость состоит в анализе психолого-педагогической и методологической литературы по проблеме исследования и сопоставление различных точек зрения на данную тему.
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТЬИКИ У УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ
1.1. Основные характеристики мышления как психического познавательного процесса
Ощущение и восприятие дают нам знание единичного — отдельных предметов и явлений реального мира. Но такая информация не может рассматриваться как достаточная. Для того чтобы человек мог жить и нормально трудиться ему необходимо предвидеть последствия тех или иных явлений событий или своих действий. Знание единичного не является достаточным основанием для предвидения для того чтобы предвидеть надо обобщать единичные предметы и факты и исходя из этих обобщений делать вывод относительно других единичных предметов и фактов такого же рода.
Этот многоступенчатый переход — от единичного к общему и от общего опять к единичному — осуществляется благодаря особому психическому процессу — мышлению. Мышление является высшим познавательным психическим процессом. Суть данного процесса заключается в порождении нового знания на основе творческого отражения и преобразования человеком действительности.
Мышление — психологический процесс познания связанный с открытием субъективно нового знания с расширением задач с творческим преобразованием действительности.
Мышление — обобщенное и опосредованное отражение существенных закономерностей и свойств реальности процесс постановки и решения проблем [5 320].
Мышление как особый психический процесс имеет ряд специфических характеристик и признаков рис.1.
Рисунок 1 – Основные характеристики мышления
Первым таким признаком является обобщенное отражение действительности поскольку мышление есть отражение общего в предметах и явлениях реального мира и применение обобщений к единичным предметам и явлениям.
Вторым не менее важным признаком мышления является опосредованное познание объективной реальности. Суть опосредованного познания заключается в том что мы в состоянии выносить суждения о свойствах или характеристиках предметов и явлений без непосредственного контакта с ними а путем анализа косвенной информации. Опосредованное мышление не искажает окружающую нас действительность а наоборот позволяет познать ее глубже вернее и полнее. Так обобщение позволяет выявить не только существенные свойства окружающих нас вещей но и основные закономерные связи предметов и явлений. Кроме этого опосредованный характер мышления дает нам возможность не только углубить имеющуюся у нас информацию но и расширить ее поскольку область мышления шире чем область того что мы воспринимаем. Например опираясь на чувственное восприятие но выходя за его пределы в процессе мышления мы в состоянии познать прошлое Земли развитие растительного и животного мира. Таким образом в процессе мышления мы познаем то что вообще недоступно восприятию и представлению.
Следующей важнейшей характерной особенностью мышления является то. Что мышление всегда связано с решением той или иной задачи возникшей в процессе познания или в практической деятельности. Процесс мышления начинает наиболее ярко проявляться лишь тогда когда возникает проблемная ситуация которую необходимо решить. Мышление всегда начинается с вопроса ответ на который является целью мышления. Причем ответ на этот вопрос находится не сразу а с помощью определенных умственных операций в процессе которых происходит видоизменение и преобразование имеющейся информации [24 333-335].
Исключительно важная особенность мышления — это неразрывная связь с речью. Тесная связь мышления и речи находит свое выражение прежде всего в том что мысли всегда облекаются в речевую форму даже в тех случаях когда речь не имеет звуковой формы например в случае с глухонемыми людьми. Мы всегда думаем словами т. е. мы не можем мыслить не произнося слова. Так специальные приборы регистрации мышечных сокращений отмечают во время протекания у человека мыслительного процесса наличие незаметных для самого человека движений голосового аппарата.
Следует отметить что речь является орудием мышления. Так взрослые и дети гораздо лучше решают задачи если формулируют их вслух. И наоборот когда в эксперименте у школьников фиксировался язык зажимался зубами качество и количество решенных задач ухудшалось. Конечно в данном случае мысли все равно облекаются в словесную форму а затруднение в решении задач связано с тем что при фиксации языка возникают затруднения в движениях речевого аппарата.
Следует иметь в виду что несмотря на тесное взаимодействие мышления и речи эти два феномена — не одно и то же. Мыслить — это не значит говорить вслух или про себя. Свидетельством этому может служить возможность высказывания одной и той же мысли разными словами а также то что мы не всегда находим нужные слова чтобы выразить свою мысль. Несмотря на то что возникшая у нас мысль нам самим понятна часто для ее выражения мы не можем найти подходящую словесную форму [31 528].
Как и всякий психический процесс мышление является функцией мозга. Физиологической основой мышления является мозговые процессы более высокого уровня чем те которые служат основой для более элементарных психических процессов например ощущения. Однако в настоящее время нет единого мнения о значимости и порядке взаимодействия всех физиологических структур обеспечивающих процесс мышления. Бесспорным является то что лобные доли мозга играют значимую роль в мыслительной деятельности как одном из вариантов целенаправленной деятельности. Кроме этого не вызывает сомнения значение тех зон коры головного мозга которые обеспечивают гностические познавательные функции мышления. Не вызывает сомнения и то что речевые центры коры головного мозга также участвуют в обеспечении мыслительного процесса [25 632].
Сложность исследования физиологических основ мышления объясняется тем что на практике мышления как отдельного психического процесса не существует. Мышление присутствует во всех других познавательных психических процессах в том числе в восприятии внимании воображении памяти речи. Все высшие формы этих процессов в определенной степени в зависимости от уровня своего развития связаны с мышлением [27 488].
Рассмотрим основные формы мышления понятие суждение умозаключение.
Понятие — это отражение общих и существенных свойств предметов или явлений. В основе понятий лежат наши знания об этих предметах или явлениях. Принято различать общие и единичные понятия.
Общими понятиями называют те которые охватывают целый класс однородных предметов или явлений носящих одно и то же название. Например понятия «стул» «здание» «болезнь» «человек» и др. В общих понятиях отражаются признаки свойственные всем предметам которые объединены соответствующим понятием.
Единичными называются понятия обозначающие какой-либо один предмет. Например «Енисей» «Венера» «Саратов» и др. Единичные понятия представляют собой совокупность знаний о каком-либо одном предмете однако при этом отражают свойства которые могут быть охвачены другим более общим понятием.
Усвоение понятий — это достаточно сложный процесс который имеет нескольких этапов. На первых этапах формирования понятия не все существенные признаки воспринимаются нами как существенные это особенно характерно для детей. Более того то что является существенным признаком нами может не осознаваться вообще а то что является несущественным воспринимается нами как существенное. Сегодня у нас есть все основания считать что основой формирования понятий является практика. Очень часто когда нам не хватает практического опыта некоторые наши понятия имеют искаженный вид. Они могут быть необоснованно сужены или расширены.
Вероятно можно выделить не только этапы формирования понятий но и определенные механизмы этого процесса. Мы не ошибемся если скажем что некоторые понятия формируются у нас в первый год жизни и мы не можем раскрыть закономерности их формирования потому что приобретаемые нами в первые годы жизни знания попадают в разряд неосознаваемых. К таким понятиям можно отнести понятия «время и «пространство» хотя по мнению ряда американских авторов данные понятия следует относить к врожденным. Но таких понятий не так много. Большинство понятий которыми мы оперируем приобретается нами в процессе нашего развития.
Усвоить понятие можно двумя путями либо нас специально учат чему-либо на основе чего формируется понятие либо мы в процессе деятельности самостоятельно формируем понятие опираясь на собственный опыт. Одним из наиболее важных моментов в усвоении понятия является его осознание.
Иногда используя понятие мы до конца не осознаем его смысл. Поэтому осознание понятия может рассматриваться как наивысшая ступень в формировании понятий как звено соединяющее понятие и понимание. В отечественной психологии в 40-50-х гг. XX в. понимание определяли как отражение связей отношений предметов или явлений реального мира. В современной науке понимание трактуется как способность постичь смысл и значение чего-либо а приведенное выше определение полностью отражает суть суждения.
Конечно в современной психологии понятия «суждение» и «понимание» не являются полностью тождественными но они самым тесным образом связаны друг с другом. Если понимание — это способность то суждение — это результат данной способности. Суждение как форма мышления основано на понимании субъектом многообразия связей конкретного предмета или явления с другими предметами али явлениями. Как правило связи которые мы отражаем в суждении весьма разнообразны. Это определяется тем что любой предмет объективной реальности находится в самых разнообразных связях с другими предметами и явлениями. Богатство связей предметов не всегда отражается в нашем суждении поэтому глубина понимания различных предметов и явлений может варьировать. На первой ступени понимания мы можем лишь обозначить предмет или явление относя их к какой-либо самой общей категории. Например маленький ребенок всех знакомых и незнакомых мужчин и женщин называет словом «дядя» или «тетя» т.е. не различает пол человека но относит воспринимаемого человека к какой-то общей для всех людей категории.
Другая более высокая ступень понимания достигается тогда когда общая категория предметов и явлений к которой мы можем отнести то что требуется понять хорошо нам известна. Более глубоким является понимание тогда когда мы осмысливаем не только общие но и специфические особенности предмета отличающие его от того что сходно с ним. Например ребенок на более высокой стадии формирования понимания может различать знакомых и незнакомых людей называя знакомых людей по имени.
Значительно помогает углубить понимание переход от общего недифференцированного восприятия чего-либо к осмыслению каждой его части и пониманию взаимодействия этих частей. Кроме этого углублению понимания способствуют осознание свойств предметов и явлений их отношений между собой а также понимание причин и происхождения того или иного явления.
Существует несколько видов понимания. Во-первых это непосредственное понимание. Для него характерно то что оно достигается сразу почти моментально не требуя значительных усилий. Во-вторых это опосредованное или дискурсивное понимание. Данный вид понимания характеризуется наличием значительных усилий которые мы прилагаем к тому чтобы достичь понимания какого-либо предмета или явления. Такой вид понимания предполагает наличие ряда умственных операций в числе которых сравнение различение анализ синтез и др.
Однако в процессе нашего оперирования разнообразными суждениями с использованием определенных умственных операций может возникнуть еще одна форма мышления — умозаключение. Умозаключение является высшей формой мышления и представляет собой формирование новых суждений на основе преобразования уже имеющихся. Умозаключение как форма мышления опирается на понятия и суждения и чаще всего используется в процессах теоретического мышления [24 340-345]
В процессе мыслительной деятельности человек познает окружающий мир с помощью особых умственных операций. Эти операции составляют различные взаимосвязанные переходящие друг в друга стороны мышления. Основными мыслительными операциями являются анализ синтез сравнение абстракция конкретизация и обобщение.
Анализ — это мыслительное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон действий отношений. В элементарной форме анализ выражается в практическом разложении предметов на составные части. Анализ бывает практическим когда мыслительный процесс непосредственно включен в речевую деятельность и умственным теоретическим. Если анализ оторван от других операций он становится порочным механистическим. Элементы такого анализа наблюдаются у ребенка на первых этапах развития мышления когда ребенок разбирает ломает игрушки на отдельные части никак не используя их дальше.
Синтез — это мысленное объединение частей свойств действий в единое целое. Операция синтеза противоположна анализу. В его процессе устанавливается отношение отдельных предметов или явлений как элементов или частей к их сложному целому предмету или явлению.
Анализ и синтез протекают всегда в единстве. Анализируется то что включает в себя что-то общее целое. Синтез также предполагает анализ чтобы объединить какие-то части элементы в единое целое эти части и признаки необходимо получить в результате анализа.
Сравнение — это установление сходства или различия между предметами и явлениями или их отдельными признаками. Сравнение бывает односторонним неполным по одному признаку и многосторонним полным по всем признакам поверхностным и глубоким неопосредствованным и опосредованным.
Абстракция состоит в том что субъект вычленяя какие-либо свойства признаки изучаемого объекта отвлекается от остальных. В этом процессе признак отделяемый от объекта мыслится независимо от других признаков предмета становится самостоятельным предметом мышления. Абстрагирование обычно осуществляется в результате анализа. Именно путем абстрагирования были созданы отвлеченные абстрактные понятия длины ширины количества равенства стоимости и т.д. Абстракция — сложный процесс зависящий от своеобразия изучаемого объекта и целей стоящих перед исследователем. Среди видов абстракции можно выделить практическую непосредственно включенную в процесс деятельности чувственную или внешнюю высшую опосредованную выраженную в понятиях.
Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть содержание. К конкретизации обращаются в том случае если высказанная мысль оказывается непонятной другим или необходимо показать проявление общего в единичном.
Обобщение — мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам. Простейшие обобщения заключаются в объединении объектов на основе отдельных случайных признаков. Более сложным является комплексное обобщение при котором объекты объединены по разным основаниям. Наиболее сложное обобщение в котором четко выделяются видовые и родовые признаки и объект включается в систему понятий [29 510-512].
Все указанные операции не могут проявляться изолировано вне связи друг с другом. На их основе возникают более сложные операции такие как классификация систематизация и прочие. Каждая из мыслительных операций может быть рассмотрена как соответствующее умственное действие. При этом подчеркивается активность действенный характер человеческого мышления возможность творческого преобразования действительности. Мышление человека не только включает в себя различные операции но и протекают на различных уровнях в различных формах что в совокупности позволяет говорить о существовании разных видах мышления [23 228].
Мышление — это особого рода деятельность имеющая свою структуру и виды рис. 2.
Рисунок 2 – Виды мышления
Чаще всего мышление подразделяют на теоретическое и практическое. При этом в теоретическом мышлении выделяют понятийное и образное мышление а в практическом наглядно-образное и наглядно-действенное.
Понятийное мышление — это такое мышление в котором используются определенные понятия. При этом решая те или иные умственные задачи мы не обращаемся к поиску с помощью специальных методов какой-либо новой информации а пользуемся готовыми знаниями полученными другими людьми и выраженными в форме понятий суждений умозаключений.
Образное мышление — это вид мыслительного процесса в котором используются образы. Эти образы извлекаются непосредственно из памяти или воссоздаются воображением. В ходе решения мыслительных задач соответствующие образы мысленно преобразуются так что в результате манипулирования ими мы можем найти решение интересующей нас задачи. Чаще всего такой вид мышления преобладает у людей деятельность которых связана с каким-либо видом творчества.
Следует отметить что понятийное и образное мышление являясь разновидностями теоретического мышления на практике находятся в постоянном взаимодействии. Они дополняют друг друга раскрывая перед нами различные стороны бытия. Понятийное мышление дает наиболее точное и обобщенное отражение действительности но это отражение абстрактно. В свою очередь образное мышление позволяет получить конкретное субъективное отражение окружающей нас действительности. Таким образом понятийное и образное мышление дополняют друг друга и обеспечивают глубокое и разностороннее отражение действительности.
Наглядно-образное мышление – это вид мыслительного процесса который осуществляется непосредственно при восприятии окружающей действительности и без этого осуществляться не может. Мысля наглядно-образно мы привязаны к действительности а необходимые образы представлены в кратковременной и оперативной памяти. Данная форма мышления является доминирующей у детей дошкольного и младшего школьного возраста.
Наглядно-действенное мышление — это особый вид мышления суть которого заключается в практической преобразовательной деятельности осуществляемой с реальными предметами. Этот вид мышления широко представлен у людей занятых производственным трудом результатом которого является создание какого-либо материального продукта.
Следует отметить что все эти виды мышления могут рассматриваться и как уровни его развития. Теоретическое мышление считается более совершенным чем практическое а понятийное представляет собой более высокий уровень развития чем образное.
Более сложные виды работы мышления требуют других конструкций. Объективно сложившиеся в истории языка средства отражают не только внешние пространственные или временные отношения но и логические отношения более сложные отношения причины и следствия и т.п.
Логическое мышление дедукция это процесс логического вывода т.е. перехода по тем или иным правилам логики от некоторых данных предложений-посылок к их следствиям заключениям и подразумевается установление истинности или ложности заключений на основе логических связей.
Делая логические выводы человек использует сложные системы образующие связи по которым течет его мысль. Примером такой связи может служить силлогизм суждение т.е. отражение связей между предметами и явлениями действительности или между их свойствами и признаками. Это наборы утверждений фактов из которых делается заключение.
Логические связи делают мышление доказательным объективным и убедительным. Однако формальная логика понятие силлогизм оставляет за «бортом» такие формы как процессуальность мышления этапы выявления и добывания данных условия возникновения и развития мысли взаимосвязь с чувственным познанием.
Таким образом несмотря на многочисленные теоретические поиски и экспериментальные исследования единого мнения о структуре и природе мышления нет. Бесспорным в настоящее время является то что мышление — это один из высших познавательных психических процессов оказывающий существенное влияние на всю деятельность человека [24 333-335].
1.2. Развитие логического мышления у младших школьников
К началу младшего школьного возраста психическое развитие ребенка достигает достаточно высокого уровня. Все психические процессы восприятие память мышление воображение речь — уже прошли достаточно долгий путь развития. И поэтому ребенок 6 — 7 лет уже многое может он хорошо ориентируется в окружающем мире и уже немало знает о нем легко запоминает информацию разнообразного содержания многочисленные стихи и сказки умеет отгадывать загадки решать задачи условия которых даны в наглядном плане может придумывать небольшие истории достаточно связно высказывать свое мнение о различных событиях умеет и любит рисовать лепить конструировать порой совсем неплохо обращается с компьютером и т.д.
Напомним что различные познавательные процессы обеспечивающие многообразные виды деятельности ребенка функционируют не изолированно друг от друга а представляют сложную систему каждый из них связан со всеми остальными. Эта связь не остается неизменной на протяжении детства в разные периоды ведущее значение для общего психического развития приобретает какой-либо один из процессов. Так в раннем детстве основное значение имеет развитие восприятия в дошкольном возрасте – памяти [9 262].
Психологические исследования показывают что в этот период главное значение приобретает дальнейшее развитие мышления. Именно оно благодаря включению ребенка в учебную деятельность направленную на овладение системой научных понятий поднимается на более высокую ступень и тем самым влечет за собой коренную перестройку всех остальных психических процессов.
С началом систематического школьного обучения мышление выдвигается в центр психического развития ребенка Л.С. Выготский и становится определяющим в системе других психических функций которые под его влиянием интеллектуализируются приобретают осознанный и произвольный характер.
Мышление ребенка младшего школьного возраста находится на переломном этапе развития. В этот период совершается переход от мышления наглядно-образного являющегося основным для данного возраста к словесно-логическому понятийному мышлению.
Напомним что наглядно-образное мышление дает возможность решать задачи в непосредственно данном наглядном поле или в плане представлений сохранившихся в памяти. В этом случае человек представляет себе реальную ситуацию и действует в ней в своем воображении действует не с реальными предметами как это происхо-дит в ситуации наглядно-действенного мышления а с их образами.
Дальнейший путь развития мышления заключается в переходе к словесно-логическому мышлению основу которого составляет оперирование понятиями. Переход к этой новой форме мышления связан с изменением содержания мышления теперь это уже не конкретные представления имеющие наглядную основу и отражающие внешние признаки предметов а понятия отражающие наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними это новое содержание мышления в младшем школьном возрасте задается содержанием ведущей деятельности учебной.
Словесно-логическое понятийное мышление формируется постепенно на протяжении младшего школьного возраста. В начале данного возрастного периода доминирующим является наглядно-образное мышление.
В этом отношении наиболее показательно мышление первоклассников. Оно действительно преимущественно конкретно опирается на наглядные образы и представления. Как правило ребенок начинает понимать общие положения лишь тогда когда они конкретизируются с помощью частных примеров. Содержание понятий и обобщений определяется в основном наглядно воспринимаемыми признаками предметов. Мышление первоклассника тесно связано с его личным опытом и потому в предметах и явлениях он чаще всего выделяет те стороны которые говорят об их применении действии с ними.
Сказанное не означает что ребенок 6-7 лет не может мыслить логически он способен сопоставлять отдельные факты делать простейшие выводы и пр. Однако основной формой мышления детей этого возраста является мышление опирающееся на наглядность [7].
Мышление ребенка в начале младшего школьного возраста имеет своеобразный характер. В силу отсутствия систематических знаний недостаточного развития понятий оно оказывается в плену у восприятия ребенок попадает в зависимость от того что видит.
Ж. Пиаже изучавший стадии развития детского мышления установил что мышление ребенка 6-7 лет характеризуется двумя основными особенностями во-первых несформированностью представлений о постоянстве основных свойств вещей — непонимание принципа сохранения во-вторых неспособностью учесть сразу несколько признаков предмета и сопоставить их изменения – центрация дети склонны обращать внимание только на одну наиболее очевидную для них характеристику объекта игнорируя остальные. Феномен центрации определяет неспособность ребенка учесть точку зрения других людей его собственный взгляд на мир представляется ему единственно верным детский эгоцентризм.
Эти особенности мышления детей наглядно демонстрируют классические опыты Ж. Пиаже с использованием задач на сохранение. Например ребенку показывают два одинаковых стакана рис. 3 в каждый из которых налито одинаковое количество жидкости. После того как ребенок понял что жидкость разлита поровну экспериментатор переливает содержимое одного стакана в другой — более высокий и узкий. Естественно уровень жидкости в узком стакане повышается. Затем ребенка спрашивают в каком стакане жидкости больше. Дети еще не владеющие принципом сохранения обычно указывают на тот в котором уровень жидкости выше. Дети понимающие данный принцип и спо¬собные учесть соотношение ширины и высоты сосуда отвечают что количество жидкости осталось прежним.
Рисунок 3 — Три типа задач на сохранение для исследования
мышления ребенка на стадии конкретных операций
Еще один опыт. Перед ребенком выкладывают два совершенно одинаковых шарика. Он устанавливает что эти шарики равны по количеству содержащегося в них вещества пластилина. После этого экспериментатор на глазах у ребенка меняет форму одного из шаров раскатывая его в лепешку или колбаску. Если после этого спросить где пластилина больше ребенок может ответить что в лепешке или колбаске.
В другом опыте перед ребенком выкладывают два ряда пуговиц один под другим так чтобы пуговицы одного ряда точно соответствовали пуговицам другого. После вопроса о том в каком ряду пуговиц больше ребенок отвечает что пуговиц в обоих рядах одинаковое количество. Затем пуговицы одного ряда на глазах у ребенка раздвигают увеличивая расстояние между ними. Если вопрос повторить ребенок укажет на более длинный ряд посчитав что теперь в нем пуговиц больше.
Дети не справляющиеся с задачами на сохранение находятся по мнению Ж. Пиаже на дооперациональной стадии мышления. Верное решение этих задач свидетель¬ствует о том что мышление ребенка соответствует стадии конкретных операций. Именно этот тип мышления характерен для детей младшего школьного возраста. Главная характеристика этой стадии – способность использовать логические правила и принципы применительно к конкретному наглядному материалу. На этой стадии дети способны осуществлять операции обратные выполненным т.е. владеют принципом сохранения. Они понимают что если например перелить жидкость обратно в другой стакан ее уровень останется прежним если из пластилиновой лепешки вновь скатать шарик его масса не изменится.
Кроме того на этой стадии дети приходят к пониманию двух важнейших логических принципов
1. Принцип эквивалентности согласно которому
если АВ а ВС то АС.
2. Объекты имеют несколько измеряемых характеристик например вес и размер которые могут находиться в различных соотношениях камешек маленький и легкий воздушный шар большой но все равно легкий а автомобиль большой и тяжелый.
На стадии дооперационального мышления дети учитывают только одну наиболее очевидную и бросающуюся в глаза характеристику объекта например обращают внимание только на высоту сосуда игнорируя его ширину. Именно потому что они не в состоянии удержать сразу две характеристики объекта и соотнести их между собой дети оказываются не способны справиться с задачами на сохранение.
Овладение принципом сохранения как раз и происходит в возрасте примерно 6-7 лет. Одни дети усваивают его раньше другие позже. Большое значение имеет при этом опыт практических действий самого ребенка а также специальное развивающее обучение предполагающее использование различных мерок и вспомогательных средств для оценки величин.
Мышление на стадии конкретных операций характеризуется также способностью ранжировать объекты по какому-либо признаку величине весу и т.д. классифицировать их.
Когда у ребенка складывается система операций и он овладевает обобщенным принципом сохранения в отно¬шении дискретных величин количества жидкости количества вещества веса объема он готов к тому чтобы у него сформировались полноценные научные понятия [34 520-528].
Современные психологические исследования показывают что феномены Пиаже свидетельствующие о несформированности умственных операций начинают исчезать примерно к 8 годам. Однако некоторые из них например связанные с пониманием сохранения веса объема могут сохраняться до 10-11 лет.
По мере овладения учебной деятельностью и усвоения основ научных знаний школьник постепенно приобщается к системе научных понятий его умственные операции становятся менее связанными с конкретной практической деятельностью или наглядной опорой. На базе этого у школьников формируются основы понятийного или теоретического мышления. Напомним что такое мышление позволяет решать задачи и делать выводы ориентируясь не на наглядные признаки объектов а на внутренние существенные свойства и отношения. В ходе обучения дети овладевают приемами мыслительной деятельности приобретают способность действовать «в уме» и анализировать процесс собственных рассуждений.
Новые формы мышления возникающие в младшем школьном возрасте становятся опорой для дальнейшего совершенствования и развития остальных психических процессов восприятия памяти речи.
С развитием мышления связано возникновение таких новообразований младшего школьного возраста как анализ внутренний план действий рефлексия [23 430-432].
Напомним что анализ как мыслительное действие предполагает разложение целого на части выделение путем сравнения общего и частного различение существенного и несущественного в предметах и явлениях.
Овладение анализом начинается с умения ребенка выделять в предметах и явлениях различные свойства и признаки. Как известно любой предмет можно рассматривать с разных точек зрения. В зависимости от этого на первый план выступают та или иная черта свойство предмета. Умение выделять свойства дается младшим школьникам с большим трудом. И это понятно ведь конкретное мышление ребенка должно проделывать сложную работу абстрагирования свойства от предмета. Как правило из бесконечного множества свойств какого-либо предмета первоклассники могут выделить всего лишь два-три. По мере развития детей расширения их кругозора и знакомства с различными аспектами действительности такая способность безусловно совершенствуется. Однако это не исключает необходимости специально учить младших школьников видеть в предметах и явлениях разные их стороны выделять множество свойств.
Для развития этого умения необходимо показать детям прием сравнения данного предмета с другими обладающими иными свойствами. С этой целью следует подобрать для сопоставления различные предметы и последовательно сравнивать с ними исходный. Вот как описывает возможный вариант такой процедуры Н.Ф. Талызина «Можно использовать например такой набор предметов несколько кубиков разного цвета и размера сделанных из различного материала кусок поролона блестящий шар елочное украшение яблоко тяжелую гирьку прозрачное стекло» [14].
Вначале ученикам показывают маленький пластмассовый кубик синего цвета. На доске и в тетрадях записывается слово «кубик». Учитель спрашивает что можно сказать про этот кубик какой он. Под словом «кубик» в начале записывают свойства которые называют ученики синий пластмассовый. Если учащиеся больше не видят свойств кубика его последовательно сравнивают с яблоком стеклом поролоном и другими предметами. Это позволяет ученикам выделить форму кубика его размер одноцветность несъедобность твердость непрозрачность и ряд других свойств которые также записываются под словом «кубик». В конце беседы учитель говорит что все выписанное о кубике называется его свойствами. Свойства зачитываются. Учитель отмечает что это только часть всех свойств кубика. Если сравнивать кубик с другими предметами то легко открыть в нем множество других свойств. При этом учитель подчеркивает что свойства предмета легче выделять при сравнении его с другими.
Выделить свойства у одного предмета недостаточно. Надо поработать с несколькими предметами причем мало похожими. Делать это лучше не сразу не на одном уроке а постепенно… Для осознания приема и прочного его усвое¬ния ученики должны не только выделять свойства сравнивая предметы друг с другом но и называть их записывать.
Как только ученики научатся легко и быстро выделять свойства в предметах путем сравнения с другими предметами надо предметы постепенно убирать и заставлять детей выделять свойства уже без сравнения с наблюдаемыми предметами. Вначале дети все равно прибегают к сравнению но теперь уже с представляемыми а не видимыми предметами. В дальнейшем они будут как бы непосредственно без всякого сравнения видеть в предмете множество свойств. Это говорит о том что прием усвоен».
Для развития у детей умения выделять различные свойства полезно отыскивать причины тех или иных явлений «Почему утка плавает а курица нет» разбирать пословицы и поговорки «Почему говорят «Как с гуся вода» «Не все то золото что блестит» «Как об стенку горох» отгадывать загадки «Что тяжелее килограмм железа или килограмм пуха». Такие вопросы побуждают ребенка обращать внимание на хорошо знакомые предметы и явления заставляют задуматься над такими их свойствами которые раньше казались само собой разумеющимися.
Параллельно с овладением приемом выделения свойств путем сравнения различных предметов явлений необходимо вводить понятие общих и отличительных частных существенных и несущественных признаков.
Неумение выделять общее и существенное может серьезно затруднить процесс обучения. В этом случае типичными для ребенка становятся проблемы с обобщением учебного материала подведение математической задачи под уже известный класс выделение корня в родственных словах краткий выделение только главного пересказ текста деление его на части выбор заглавия для отрывка и т.п.
Умение выделять существенное способствует формированию другого умения – отвлекаться от несущественных деталей. Это действие дается младшим школьникам с не меньшим трудом чем выделение существенного. В этой связи занимательный пример приводят B.C. Ротенберг и С.М. Бондаренко «Попробуйте задать своим знакомым школьникам старинную шуточную задачку «Фунт муки стоит двенадцать копеек. Сколько стоят две пятикопеечные булки» Понаблюдайте как они будут ее решать будут ли они делить умножать или делать что-нибудь иное в большинстве случаев они будут начинать со стоимости фунта муки. Неумение отбросить что-то относящееся «не сюда» одна из наиболее трудных для школьника умственных операций».
Не менее показателен в этом плане пример приведенный А.И. Липкиной который демонстрирует насколько трудно для младших школьников только овладевающих способностью управлять своей умственной деятельностью вычленить и отбросить часть содержания из заданного целого. Младшим школьникам 1-4 классы было дано задание воспроизвести рассказ Мельникова-Печерского «Лес¬ной пожар» но при этом не упоминать о путниках ставших свидетелями пожара. Никто из первоклассников с этой задачей справиться не смог. Большинству второклассников это все-таки удалось но потребовало значительного напряжения и борьбы с постоянным желанием включить путников в свой рассказ. Вот фрагмент одного из таких пересказов «… Так… о путниках нельзя говорить а о животных можно Белки волки медведи убегали от пожара. О путниках не надо… Что еще там было Стадо лосей бежало пауза. Хочется сказать о путниках…» И только школьники 3-4 классов могли четко удержать задачу и преодолеть потребность рассказывать все подряд [36].
Приемы логического анализа необходимы учащимся уже в 1 классе без овладения ими не происходит полноценного усвоения учебного материала. Однако исследования показывают что к концу первого года обучения лишь незначительный процент первоклассников владеет приемами сравнения подведения под понятие выведения следствия и т.п. Немало школьников не осваивают их и к старшим классам.
Эти неутешительные данные показывают что именно в младшем школьном возрасте необходимо проводить целенаправленную работу по обучению детей основным приемам мыслительной деятельности.
Направляя усилия на развитие мышления детей следует ориентироваться на их индивидуальные особенности склад ума темп мыслительной деятельности обучаемость и пр.. Кроме того нельзя забывать и о качественном свое¬образии мышления ребенка в младшем школьном возрасте. Так установлено что примерно до 10 лет у детей активизируется преимущественно правое полушарие и первая сигнальная система поэтому подавляющее большинство младших школьников относятся не к мыслительному а к художественному типу. Это означает что «физиологически младшие школьники по сути поголовно все «художники». Поэтому целенаправленное развитие теоретического мышления детей следует сочетать с не менее целенаправленным совершенствованием мышления образного. «Ум человека у которого в детские годы не сформировалось должным образом непосредственное восприятие окружающего и наглядно-образное мышление может получить впоследствии одностороннее развитие приобрести чрезмерно отвлеченный оторванный от конкретной действительности характер»
1.3. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе
Содержание учебного предмета как известно зависит от многих факторов – от требований жизни к знаниям учащихся от уровня соответствующих наук от психических и физических возрастных возможностей детей и т.д. Правильный учет этих факторов является существенным условием наиболее эффективного обучения школьников расширения их познавательных возможностей. Но иногда это условие по тем или иным причинам не соблюдается. В этом случае преподавание не дает должного эффекта как в отношении усвоения детьми круга необходимых знаний так и в отношении развития их интеллекта.
Представляется что в настоящее время программы преподавания некоторых учебных предметов в частности математики не соответствуют новым требованиям жизни уровню развития современных наук например математики и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует необходимость всесторонней теоретической и экспериментальной проверки возможных проектов нового содержания учебных предметов.
Фундамент математических знаний закладывается в начальной школе. Но к сожалению как сами математики так и методисты и психологи уделяют весьма малое внимание именно содержанию начальной математики. Достаточно сказать что программа по математике в начальной школе I — IV классы в основных своих чертах сложилась еще 50 — 60 лет назад и отражает естественно систему математических методических и психологических представлений того времени.
Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по математике в начальной школе. Основным ее содержанием являются целые числа и действия над ними изучаемые в определенной последовательности. Вначале изучаются четыре действия в пределе 10 и 20 затем — устные вычисления в пределе 100 устные и письменные вычисления в пределе 1000 и наконец в пределе миллионов и миллиардов. В IV классе изучаются некоторые зависимости между данными и результатами арифметических действий а также простейшие дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени овладение умением пользоваться ими для измерения знание некоторых элементов наглядной геометрии — вычерчивание прямоугольника и квадрата измерение отрезков площадей прямоугольника и квадрата вычисление объемов. Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и к выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач проводится параллельно изучению чисел и действий — для этого отводится половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять конкретный смысл действий уяснить различные случаи их применения установить зависимость между величинами получить элементарные навыки анализа и синтеза.
С I по IV класс дети решают следующие основные типы задач простых и составных на нахождение суммы и остатка произведения и частного на увеличение и уменьшение данных чисел на разностное и кратное сравнение на простое тройное правило на пропорциональное деление на нахождение неизвестного по двум разностям на вычисление среднего арифметического и некоторые другие виды задач. С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении задач. Но весьма характерно — учащиеся приступают к задачам после и по мере изучения чисел главное что требуется при решении — это найти числовой ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в конкретных частных ситуациях которые принято считать арифметическими задачами. Практика показывает что манипулирование числами часто заменяет действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных величин. Задачи вводимые в учебники не представляют к тому же системы в которой более «сложные» ситуации были бы связаны и с более глубокими пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно встретить и в начале и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу и от класса к классу по запутанности сюжета возрастает число действий по рангу чисел от десяти до миллиарда по сложности физических зависимостей от задач на распределение до задач на движение и по другим параметрам. Только один параметр – углубление в систему собственно математических закономерностей — в них проявляется слабо неотчетливо. Поэтому очень сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи. Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение среднего арифметического III класс труднее задач на разностное и кратное сравнение II класс Методика не дает на этот вопрос убедительного и логичного ответа.
Таким образом учащиеся начальных классов не получают адекватных полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни при изучении элементов теории чисел ибо они в школьном курсе связаны по преимуществу с техникой вычислений ни при решении задач ибо последние не обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки методистов усовершенствовать приемы преподавания хотя и приводят к частным успехам однако не меняют общего положения дела так как они заранее ограничены рамками принятого содержания.
Представляется что в основе критического анализа принятой программы по арифметике должны лежать следующие положения
 понятие числа не тождественно понятию о количественной характеристике объектов
 число не является исходной формой выражения количественных отношений.
Приведем обоснование этих положений.
Общеизвестно что современная математика в частности алгебра изучает такие моменты количественных отношений которые не имеют числовой оболочки. Также хорошо известно что некоторые количественные отношения вполне выразимы без чисел и до чисел например в отрезках объемах и т.д. отношение больше меньше равно. Изложение исходных общематематических понятий в современных руководствах осуществляется в такой символике которая не предполагает обязательного выражения объектов числами.
Примечательно что акад. А.Н. Колмогоров характеризуя особенности математического творчества специально отмечает следующее обстоятельство «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея наглядное геометрическое построение новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи которая с первого взгляда кажется недоступной» [6 17].
В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно структуры и способов построения учебной программы по математике для начальной школы. Но во всех своих конкретных вариантах она как представляется должна удовлетворять следующим основным требованиям
 преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной и средней школе
 давать систему знаний об основных закономерностях количественных отношений объективного мира при этом свойства чисел как особой формы выражения количества должны стать специальным но не основным разделом программы
 прививать детям приемы математического мышления а не только навыки вычислений это предполагает построение такой системы задач в основе которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин связь математики с физикой химией биологией и другими науками изучающими конкретные величины
 решительно упрощать всю технику вычисления сводя до минимума ту работу которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц справочников и других подсобных в частности электронных средств.
Смысл этих требований ясен в начальной школе вполне возможно преподавать математику как науку о закономерностях количественных отношений о зависимостях величин техника вычислений и элементы теории чисел должны стать особым и частным разделом программы.
Опыт конструирования новой программы по математике и ее экспериментальная проверка проводимая начиная с конца 1960-х годов позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу начиная с I класса систематического курса математики дающего знания о количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.
Логические и психологические исследования последних лет в особенности работы Ж. Пиаже вскрыли связь некоторых механизмов детского мышления с общематематическими понятиями. Ниже специально рассматривается особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета.
Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем протяжении ее истории весьма существенную роль оно играет во всех областях производства техники повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том что понятие натурального числа – исходная ступень математической абстракции что оно является основой для построения большинства математических дисциплин. Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается что знакомясь с числом ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число – основа всего последующего усвоения математики в школе. Однако есть основания полагать что эти положения справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства в частности проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями.
Многие общематематические понятия и в частности понятия соотношения эквивалентности и порядка систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет – разные числовые системы понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие понятия развивались именно в той мере в какой алгебраические операции известный пример которых доставляют четыре действия арифметики стали применяться к элементам совершенно не числового характера.
На первый взгляд понятия отношение структура законы композиции и др. имеющие сложные математические определения не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно весь подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и натренированной в математике головы. Однако некоторые свойства вещей фиксируемые этими понятиями так или иначе проступают для ребенка уже сравнительно рано на это имеются конкретные психологические данные.
Прежде всего следует иметь в виду что от момента рождения до 7 — 10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той системы координат внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно эти общие схемы мало осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме отвлеченного суждения. Они говоря образно являются интуитивной формой организации поведения ребенка хотя конечно все более и более отображаются и в суждениях.
В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка и поэтому нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной программы.
В одной из своих последних книг [10] Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей до 12 — 14 лет таких элементарных логических структур как классификация и сериация.
Классификация предполагает выполнение операции включения например А + А’ В и операции ей обратной В — А’ А.
Сериация — это упорядочение предметов в систематические ряды так палочки разной длины можно расположить в ряд каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих. Анализируя становление классификации Ж.Пиаже показывают как от ее исходной формы от создания фигурной совокупности основанной лишь на пространственной близости объектов дети переходят к классификации основанной уже на отношении сходства нефигурные совокупности а затем к самой сложной форме — к включению классов обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Автор специально рассматривает вопрос о формировании классификации не только по одному но и по двум-трем признакам о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов.
Аналогичные стадии авторы находят и в процессе становления сериации.
Эти исследования преследовали вполне определенную цель – выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда когда «операции и действия могут развертываться в двух направлениях и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto [в силу самого факта] понимание другого» [10 15].
Обратимость согласно Ж. Пиаже представляет фундаментальный закон
композиции свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы обращение инверсия или отрицание и взаимность.
Обращение имеет место например в том случае когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать переводя обратно предмет из В в А что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию произведение операции на обратную есть тождественная операция или нулевое преобразование.
Взаимность или компенсация предполагает тот случай когда например при перемещении предмета из А в В предмет так и остается в В но ребенок сам перемещается из А в В и воспроизводит начальное положение когда предмет находился против его тела. Движение предмета здесь не аннулировано но оно компенсировалось путем cоответствующего перемешения собственного тела – и это уже другая форма преобразования нежели обращение [10 16].
В своих работах Ж. Пиаже показал что эти преобразования возникают вначале в форме сенсо-моторных схем с 10 — 12 мес.. Постепенная координация чувственно-двигательных схем функциональная символика и языковое отображение приводят к тому что через ряд этапов обращение и взаимность становятся свойствами интеллектуальных действий операций и синтезируются в единой операторной структуре в период с 7 до 11 и с 12 до 15 лет. Теперь ребенок может координировать все перемещения в одно по двум системам отсчета сразу — одна мобильная другая неподвижная.
Ж. Пиаже считает что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка особенно тех логических операций которые осуществляют в них предварительные условия позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими структурами порядка и топологическими [10 13].
Так алгебраическая структура группа соответствует операторным механизмам ума подчиняющимся одной из форм обратимости — инверсии отрицанию. Группа имеет четыре элементарных свойства произведение двух элементов группы также дает элемент группы прямой операции соответствует одна и только одна обратная существует операция тождества последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает
 координация двух систем действия составляет новую схему присоединяемую к предыдущим
 операция может развиваться в двух направлениях
 при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной
 к одной и той же точке можно прийти разными путями причем сама точка остается неизменной.
Факты самостоятельного развития ребенка т.е. развития независимого от прямого влияния школьного обучения показывают несоответствие порядка этапов геометрии и этапов формирования геометрических понятий у ребенка. Последние приближаются к порядку преемственности основных групп где топология является первой. У ребенка по данным Ж. Пиаже вначале складывается интуиция топологическая а затем он ориентируется в направлении проективных и метрических структур. Поэтому в частности как отмечает Ж. Пиаже при первых попытках рисования ребенок не различает квадратов окружностей треугольников и других метрических фигур но прекрасно различает фигуры открытые и закрытые положение вне или внутри по отношению к границе разделение и соседство не различая до поры до времени расстояния и т.д. [10 23].
Рассмотрим основные положения сформулированные Ж. Пиаже применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего исследования Ж. Пиаже показывают что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций с 7 — 8 лет интеллект ребенка приобретает свойство обратимости что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов в частности математики.
Эти данные говорят о том что традиционная психология и педагогика не
учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий умственного развития ребенка которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7 до 11 лет. Рассмотрение результатов полученных Ж. Пиаже позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 2 до 11 лет говорят о том что ему в это время не только не чужды свойства объектов описываемые посредством математических понятий отношение – структура но последние сами органически входят в мышление ребенка. Традиционные программы не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. Материалы имеющиеся в современной детской психологии позволяют положительно оценивать общую идею построения такого учебного предмета в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно на этом пути возникают большие трудности так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности одна из них связана с определением возрастного порога с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже то видимо по этим программам можно учить лишь тогда когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры с 14 — 15 лет. Но если предположить что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур то эти программы можно вводить гораздо раньше например с 7 — 8 лет когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В естественных условиях при обучении по традиционным программам формальные операции возможно только и складываются к 13 — 15 годам. Но нельзя ли ускорить их формирование путем более раннего введения такого учебного материала усвоение которого требует прямого анализа математических структур
Представляется что такие возможности есть. К 7 — 8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий и путем обучения по соответствующей программе в которой свойства математических структур даны явно и детям даются средства их анализа можно быстрее подвести детей к уровню формальных операций чем в те сроки в которые это осуществляется при самостоятельном открытии этих свойств. При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать что особенности мышления на уровне конкретных операций приуроченном Ж. Пиаже к 7 — 11 годам сами неразрывно связаны с формами организации обучения свойственными традиционной начальной школе. Это обучение и у нас и за рубежом ведется на основе предельно эмпирического содержания зачастую вообще не связанного с понятийным теоретическим отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление опирающееся на внешние прямым восприятием уловимые признаки вещей.
Таким образом в настоящее время имеются фактические данные показывающие тесную связь структур детского мышления и общеалгебраических структур хотя механизм этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности пока лишь возможности для построения учебного предмета развертывающегося по схеме от простых структур — к их сложным сочетаниям. Одним из условий реализации этих возможностей является изучение перехода к опосредствованному мышлению и его возрастных нормативов. Указанный способ построения математики как учебного предмета сам может быть мощным рычагом формирования у детей такого мышления которое опирается на достаточно прочный понятийный фундамент.
Заключение
Мы рассмотрели теоретические аспекты нашего исследования основные характеристики мышления как психического познавательного процесса особенности развития мышления у младших школьников общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе.
Мышление – это психологический процесс познания связанный с открытием субъективно нового знания с расширением задач с творческим преобразованием действительности.
Также мы подробно описали основные формы мышления понятие суждение умозаключение мыслительные операции анализ синтез сравнение абстракция конкретизация и обобщение основные виды мышления наглядно-действенное наглядно-образное и словесно-логическое и др..
Логическое мышление дедукция это процесс логического вывода т.е. перехода по тем или иным правилам логики от некоторых данных предложений-посылок к их следствиям заключениям и подразумевается установление истинности или ложности заключений на основе логических связей.
Мышление ребенка младшего школьного возраста находится на переломном этапе развития. В этот период совершается переход от мышления наглядно-образного являющегося основным для данного возраста к словесно-логическому понятийному мышлению.
Логические и психологические исследования последних лет в особенности работы Ж. Пиаже вскрыли связь некоторых «механизмов» детского мышления с общематематическими понятиями.
Ж. Пиаже считает что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими структурами порядка и топологическими.
Список использованной литературы
1. Артёмов А.К. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах [Текст] пособие для студентов факультета подготовки учителей начальных классов заочного отделения А.К. Артемов Н.Б. Истомина. — М. Институт практической психологии Воронеж НПО «МОДЭК» 2001. – 224 с.
2. Аргинская И.И. Математика Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы [Текст] И.И. Аргинская Е.А. Ивановская. – Самара Федоров 2000. – 192с.
3. Блонский П. П. Избранные педагогические и психологические сочинения В 2-х т.Под ред. А. В. Петровского. — М. Педагогика 1979.
4. Большой толковый психологический словарь [Текст] перевод с англ. Ребер Артур. – М. АСТ Вече 2001. – 560 с.
5. Возрастная и педагогическая психология [Текст] сост. И.В. Дубровина А.М Прихожан В.В. Зацепин. — М.[б.и.] 1999. — 320с.
6. Волошкина М.И. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроке математики [Текст] М.И. Волошкина Начальная школа. – 1999. — 910. – С. 15-18.
7. Выготский Л. С. История развития высших психологических функций [Текст] собр. соч. В 6 т. Т.3 Л.С. Выготский. — М. [б.и.] 1983. – 512с.
8. Выготский Л. С. Собрание сочинений [Текст] в 6-ти т. Т. 1. Вопросы теории и истории психологии гл. ред. А. В. Запорожец. — М. Педагогика 1982.
9. Гребцова Н.И. Развитие мышления учащихся [Текст] Н.И. Гребцова Начальная школа. — 2001. — 11. — С.24-27.
10. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика [Текст] Е.Г. Гонин. – М. Учпедгиз 1999. – 171 с.
11. Демидова И.Ф. Психология развития и возрастная психология [Текст] И.Ф. Демидова. – Таганрог 2003. – 371с.
12. Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте [Текст] под ред. А.В. Петровского. – М. Педагогика 2001. – 167с.
13. Запорожец А. В. Избранные психологические труды [Текст] в 2-х т. Т. 1 под ред. В. В. Давыдова В. П. Зинченко. — М. Педагогика 1986. – 564с.
14. Зак А.З. Занимательные задачи для развития мышления [Текст] А.З. Зак Начальная школа. — 2000. — 5. — С.37-41.
15. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников [Текст] А.З. Зак. – М. Вагриус 2002. – 176с.
16. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах [Текст] Н.Б. Истомина. – М. Академия 1999. – 288 с.
17. Каган В.Ф. О свойствах математических понятий [Текст] В.Ф. Каган. – М. Наука 1999. – 144 с.
18. Когаловский С. Р. Путь к понятию [Текст] С.Р. Когаловский Е.А. Шмелева О.В. Герасимова. – Иваново [б.и.] 1999. — 208 с.
19. Кулагина И.Ю. Возрастная психология развитие человека от рождения до поздней зрелости Текст уч. пособие для вузов И.Ю. Кулагина В.Н. Колюцкий. – М. Сфера 2001. – 464с.
20. Лейтес Н. С. Возрастные предпосылки умственных способностей [Текст] хрестоматия по психологии Н.С. Лейтс. — М. Просвещение 2001. – 269с.
21. Леонтьев А. Н. Лекции по общей психологии [Текст] А.Н. Леонтьев. – М. Смысл 2000. – С.428 – 460.
22. Маклаков А. Г. Общая психология [Текст] учебник А.Г. Маклаков. — СПб. Питер 2003. – 592 с. ил.
23. Мартынова О.А. Из опыта обучения математике по системе УДЕ [Текст] О.А. Мартынова Начальная школа. – 1999. — 4. – С. 29-
24. Мухина С.В. Возрастная психология [Текст] С.В. Мухина. – М. Просвещение 2001. – 367 с.
25. Мойсенко А. В. Концепция школьного математического образования [Текст] в кн. Школа самоопределения. Шаг второй А.В. Мойсенко. — М. Политекст 1999. — С.392-422.
26. Немов Р.С. Психология [Текст] учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений в 3 кн. Кн. 1 Общие основы психологии Р.С. Немов.- М. Владос 2003.- 688 с.
27. Немов Р.С. Психология [Текст] учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений в 3 кн. Кн. 2 Психология образования Р.С. Немов.- М. Владос 2003.- 608 с.
28. Немов Р.С. Психология [Текст] учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений в 3 кн. Кн. 3 Психодиагностика. Введение в научное психологическое исследование с элементами математической статистики Р.С. Немов.- М. Владос 2004.- 632 с.
29. Обухова Л.Ф. Возрастная психология [Текст] уч. пособие для студентов вузов Л.Ф. Обухова. – 3-е изд. — М. Педагогическое общество России 2001. – 444с.
30. Петровский А.В. Психологический словарь [Текст] А.В. Петровский М.Г. Ярошевский. – М. Просвещение 2003. – 430 с.
31. Психологический словарь [Текст] под ред. В.В.Давыдова А.В. Запорожца Б.Фланова и др. Научно-исследовательский институт общей педагогической психологии. – М. Академия педагогических наук СССР 1999. – 448с.
32. Петровский А. В. Психология [Текст] учебник для студентов высших педагогических учебных заведений А.В. Петровский М.Г. Ярошевский. – Второе издание стереотип. – М. Академия 2001. – 512 с.
33. Пиаже Ж. Речь и мышление ребенка [Текст] Ж. Пиаже. — М. [б.и.] 1999. — 528с.
34. Пиаже Ж. Генезис элементарных логических структур [Текст] Ж. Пиаже. М. [б.и] 1963. – 181с.
35. Пиаже Ж. Избранные психологические труды [Текст] Ж. Пиаже. – СПб Питер 1999. – 531с.
36. Словарь-справочник по педагогике [Текст] авт.-сост. В.А.Мижериков под общ. ред. П.И. Пидкасистого. — М. ТЦ Сфера 2004. – 391с.